필터 (신호 처리)

3. 기술

필터는 다양한 기술로 구현될 수 있다. 동일한 전달 함수는 여러 가지 방법으로 구현될 수 있는데, 즉 필터의 수학적 속성은 동일하지만 물리적 속성은 상당히 다르다. 종종 서로 다른 기술의 구성 요소는 서로 직접적으로 유사하며 각 필터에서 동일한 역할을 수행한다. 예를 들어, 전자 공학의 저항, 인덕터 및 커패시터는 각각 기계 공학의 댐퍼, 질량 및 스프링에 해당한다. 마찬가지로, 분산 소자 필터에도 해당하는 구성 요소가 있다.

• 필터 회로는 원래 저항, 인덕턴스, 커패시턴스로 구성된 완전히 수동적인 필터였다. 능동 기술은 설계를 더 쉽게 만들고 필터 사양에서 새로운 가능성을 열어준다.
• 디지털 필터는 디지털 형태로 표현된 신호에 대해 작동한다. 디지털 필터의 핵심은 원하는 필터 전달 함수에 해당하는 수학적 알고리즘을 프로그래밍 또는 마이크로코드에서 직접 구현하는 것이다.
• Mechanical filters|기계적 필터^영어는 기계적 구성 요소로 제작된다. 대부분의 경우 전자 신호를 처리하는 데 사용되며 이 신호를 기계적 진동으로 변환하기 위해 변환기가 제공된다. 그러나 기계적 영역에서 완전히 작동하도록 설계된 필터의 예도 존재한다.
• 분산 소자 필터는 전송선 또는 기타 분산 소자의 작은 조각으로 만들어진 구성 요소로 구성된다. 분산 소자 필터에는 전자 필터의 집중 소자에 직접 대응하는 구조와 이 기술 부류에 고유한 구조가 있다.
• 도파관 필터는 도파관 구성 요소 또는 도파관에 삽입된 구성 요소로 구성된다. 도파관은 전송선의 한 종류이며, 예를 들어 스터브와 같은 많은 분산 소자 필터 구조는 도파관에서도 구현할 수 있다.
• 광학 필터는 원래 조명 및 사진과 같은 신호 처리 이외의 목적으로 개발되었다. 그러나 광섬유 기술의 부상으로 광학 필터는 점점 더 신호 처리 응용 분야를 찾고 있으며, 롱패스 및 숏패스와 같은 신호 처리 필터 용어가 이 분야에 진입하고 있다.
• 횡단 필터 또는 지연선 필터는 다양한 시간 지연 후 입력 복사본을 합산하여 작동한다. 이는 아날로그 지연선, 능동 회로, CCD 지연선 또는 완전히 디지털 영역에서 다양한 기술로 구현할 수 있다.

4. 전달 함수

필터의 전달 함수는 복소수 주파수 영역에서 필터의 입력 신호와 출력 신호의 관계를 나타낸다.^[12] 이 영역으로 들어가거나 나오는 변환은 라플라스 변환 및 그 역변환으로 계산하며, 전달 함수에서의 입출력 신호도 입력 신호의 시간 영역을 라플라스 변환한 것으로 이해해야 한다.

필터의 전달 함수 $H(s)$는 복소수 주파수 $s$에서 입력 신호 $X(s)$에 대한 출력 신호 $Y(s)$의 관계를 나타내는 함수로 아래와 같이 정의된다.

:$H(s)=\backslash frac\{Y(s)\}\{X(s)\}$

여기서 $s\; =\; \backslash sigma\; +\; j\; \backslash omega$이다.

집중 소자로 구성된 필터의 경우, 전달 함수는 $s$의 유리 함수로 표현된다. 즉, $s$에 대한 다항식의 비율이 된다. 전달 함수의 차수는 분자 또는 분모 다항식에서 $s$의 가장 높은 차수가 된다. 이 다항식들은 모두 실수 계수를 가지므로, 전달 함수의 극점과 영점은 실수이거나 켤레복소수 쌍으로 나타난다. 필터가 안정적이라면, 모든 극점의 실수부는 음수가 되어 복소평면의 왼쪽 반평면에 위치하게 된다.

분산 소자 필터의 경우, 일반적으로 유리 함수 전달 함수를 정확하게 계산할 수는 없지만, 근사적으로 추정할 수는 있다.^[13]

전달 함수는 초기 조건이 0이라고 가정하는데, 이는 라플라스 변환의 특성 때문이다.

:$\backslash mathcal\{L\}\backslash left\backslash \{\backslash frac\{df\}\{dt\}\backslash right\backslash \}\; =\; s\backslash cdot\backslash mathcal\{L\}\; \backslash left\backslash \{\; f(t)\; \backslash right\backslash \}-f(0),$

''f''(0) = 0일 때 위 식은 다음과 같이 간단하게 표현 가능하다.

:$\backslash mathcal\{L\}\backslash left\backslash \{\backslash frac\{df\}\{dt\}\backslash right\backslash \}\; =\; s\backslash cdot\backslash mathcal\{L\}\; \backslash left\backslash \{\; f(t)\; \backslash right\backslash \}$

전달 함수 대신, 필터의 동작을 시간 영역 입력과 필터의 임펄스 응답의 컨볼루션으로 나타낼 수도 있다. 컨볼루션 정리에 의해 이는 전달 함수와 동등함이 보장된다.

4. 1. 전달 함수 분류

각 필터 종류는 특정 차수로 지정할 수 있다. 차수가 높을수록 필터는 "이상적인" 필터에 더 가까워지지만, 임펄스 응답이 더 길어지고 지연 시간도 더 길어진다.

위 그림은 버터워스, 체비셰프 및 타원 필터를 비교한 것이다. 모두 5차 저역 통과 필터이며, 구현 방식에 따른 차이는 없다. 타원 필터가 가장 날카로운 컷오프를 보이지만, 전체 대역폭에서 리플이 나타난다.

모든 종류는 특정 대역폭 형태를 구현하는 데 사용될 수 있다. 전달 함수는 선형 필터의 동작을 완전히 지정하지만, 구현 기술은 지정하지 않는다. 즉, 회로 설계 시 특정 전달 함수를 달성하는 방법은 다양하다.

5. 특정 목적을 위한 필터

• 오디오 필터
• 라인 필터
• 스케일 상관관계
• 텍스처 필터링

6. 데이터 잡음 제거 필터

위너 필터, 칼만 필터, 사비츠키-골레이 평활 필터는 데이터 잡음 제거에 사용되는 필터들이다.

7. 임피던스 정합

임피던스 정합 구조는 항상 필터 형태, 즉 비소산 소자 네트워크 형태를 띤다. 예를 들어, 수동 전자 구현에서 이는 인덕터와 커패시터의 래더 회로 형태를 띨 수 있다. 정합 회로 설계는 필터와 많은 공통점을 가지며, 설계는 항상 부수적인 결과로 필터링 작용을 한다. 정합 회로의 주요 목적이 필터링은 아니지만, 두 기능을 동일한 회로에 결합하는 경우가 많다. 신호가 디지털 도메인에 있는 동안에는 임피던스 정합이 필요하지 않다.

전력 분배기 및 지향성 결합기와 관련해서도 비슷한 언급을 할 수 있다. 분산 소자 형태로 구현될 때, 이러한 장치는 분산 소자 필터 형태를 취할 수 있다. 정합해야 할 포트가 4개 있으며, 대역폭을 넓히려면 이와 같은 필터 형태의 구조가 필요하다. 역도 성립한다. 즉, 분산 소자 필터는 결합 선로 형태를 취할 수 있다.

참조

_[1] 간행물 "Better than Bessel\" Linear Phase Filters for Data Communications" http://cds.linear.co[...] 1994
_[2] 논문 Edward George Sydney Paige. 18 July 1930 — 20 February 2004 2009-12
_[3] 논문 "Distributed Mean-Field-Type Filters for Traffic Networks," in IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems 2019-02
_[4] 웹인용 L10 - Microwave Filter http://ael.cbnu.ac.k[...] Applied Electromagnetics Laboratory 2021-03-31
_[5] 웹인용 디지털 영상처리란 http://harmony.cs.pu[...] 부산대 신경망 실세계 연구실 2021-03-31
_[6] 웹인용 RF 회로개념 잡기 - PART 6 ▶ Filter (여파기) http://www.rfdh.com/[...] RF designhouse 2021-03-31
_[7] 웹인용 Signal filtering, Signal suppression, Signal processing https://training.dew[...] Dewesoft 2021-03-31
_[8] 웹인용 Linear Time-Invariant Digital Filters https://ccrma.stanfo[...] Stranford University 2021-03-31
_[9] 간행물 "Life and Work of Wilhelm Cauer (1900–1945)", ''Proceedings of the Fourteenth International Symposium of Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS2000)'' http://www.cs.prince[...] 2000-06
_[10] 서적 Introduction to digital signal processing and filter design https://books.google[...] John Wiley and Sons
_[11] 웹인용 Design of DIR Filters https://www.vyssotsk[...] Open Publishing 2020-05-02
_[12] 서적 Electrical Engineer's Reference Book Newnes 2002-09-27
_[13] 서적 Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures McGraw-Hill 1964